Matematici vzkřísí Hilbertův 13. problém

Otázka Davida Hilberta o polynomech sedmého stupně, která byla dlouho považována za vyřešenou, otevřela novou síť matematických spojení pro výzkumníky

Úspěch v matematice je vzácný. Stačí se zeptat Bensona Farba.

„Problém s matematikou spočívá v tom, že 90% případů selháváte a musíte to být vy, kdo to přijme,“ řekl jednou Farb při večeři s přáteli. Když byl jeden z hostů, také matematik, překvapen, že Farb byl úspěšný až v 10% případů, Farb připustil: „Ne, ne, velmi jsem zveličil svoji úspěšnost.“

Farb, topolog z University of Chicago, je rád, že se setkal se svým posledním neúspěchem - i když, poctivě, není to úplně jeho zásluha. Otázka je spojena s problémem, paradoxně vyřešeným a nevyřešeným současně, otevřeným a uzavřeným. Úkolem je 13. z 23 matematických úloh, které nebyly na začátku 20. století vyřešeny. Poté tento seznam sestavil německý matematik David Hilbert, který podle jeho názoru určil budoucnost matematiky. Problém souvisí s řešením polynomiálních rovnic sedmého stupně. Polynom je posloupnost členů rovnice, z nichž každá se skládá z číselného koeficientu a proměnných zvýšených na mocninu; termíny jsou navzájem spojeny sčítáním a odčítáním. Sedmý stupeň znamená největšího exponenta ze všech proměnných.

Matematici se již naučili obratně a rychle řešit rovnice druhého, třetího a v některých případech čtvrtého řádu. Tyto vzorce - včetně známého kvadratického vzorce pro druhý stupeň - zahrnují algebraické operace, tj. Aritmetické operace a extrakci kořenů. Ale čím větší je exponent, tím matoucí je rovnice a její řešení je stále obtížnější. Hilbertovým 13. problémem je otázka, zda je možné vyjádřit řešení rovnice sedmého řádu z hlediska množiny sčítání, odčítání, násobení, dělení a algebraických funkcí nejvýše ze dvou proměnných.

Odpověď: pravděpodobně ne. Pro Farba to však není jen otázka řešení složité algebraické rovnice. Řekl, že problém 13 je jedním z nejzásadnějších problémů v matematice, protože vyvolává hluboké otázky: Jak složité jsou polynomy a jak je lze měřit? "Byla vyvinuta celá vrstva moderní matematiky, aby lépe porozuměla kořenům polynomů," řekl Farb.

Tento problém ho a matematika Jesseho Wolfsona z Kalifornské univerzity v Irvine stáhl dolů do matematické králičí nory, jejíž pohyby stále studují. K jejich vykopání přivedla také Marka Kissina, harvardského teoretika čísel a Farbova starého přítele.

Farb připustil, že dosud nevyřešili Hilbertův 13. problém, nebo se k jeho řešení ani nepřiblížili. Objevili však téměř zaniklé matematické strategie a prozkoumali vazby problému na různé oblasti znalostí, včetně komplexní analýzy, topologie, teorie čísel, teorie reprezentace a algebraické geometrie. Aplikovali vlastní přístupy, zejména kombinovali polynomy s geometrií a zúžili škálu možných odpovědí na Hilbertovu otázku. Jejich práce také navrhuje metodu pro klasifikaci polynomů podle metrik složitosti - analogie tříd složitosti souvisejících s nevyřešeným problémem rovnosti tříd P a NP.

„Ve skutečnosti dokázali ze zájmu získat zajímavější verzi zájmu“ ve srovnání s těmi, které jsme studovali dříve, řekl Daniel Litt, matematik z Gruzínské univerzity. "Ukazují matematické komunitě spoustu přirozených a zajímavých otázek."

Otevřeno, zavřeno a znovu otevřeno

Mnoho matematiků si již myslelo, že problém byl vyřešen. Koncem padesátých let 20. století zveřejnili brilantní sovětský vědec Vladimir Igorevič Arnold a jeho mentor Andrej Nikolaevič Kolmogorov své důkazy. Pro většinu matematiků práce Arnolda-Kolmogorova uzavřela tuto otázku. Dokonce i na Wikipedii - nikoli konečné pravdě, ale spíše inteligentním zprostředkovateli při hledání znalostí - byl donedávna problém označen jako vyřešený.

Používáme cookies.
Cookies používáme, abychom zajistili, že vám poskytneme nejlepší zkušenosti na našich webových stránkách. Pomocí webových stránek souhlasíte s naším využitím cookies.
Povolit cookies.